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平面几何的定值问题

时间:2017-10-04 12:08河北网(www.he-bei.cn)
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  所谓定值问题,是指按照一定条件构成的几何图形,当某些几何元素按一定的规律在确定的范围内变化时,与它有关的元素的量保持不变(或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变)。

  几何定值问题的基本特点是:题设条件中都包含着变动元素和固定元素,变动元素是指可变化运动的元素,固定元素也就是“不变量”,有的是明显的,有的是隐含的,在运动变化中始终没有发生变化的元素,也就是我们要探求的定值。

  下面给出三个例题:

  例1:如图,扇形OAB的半径OA=3,圆心角∠AOB=90°.点C是弧AB上异于A,B的动点,过点C作CD⊥OA于点D,作CE⊥OB于点E.连接DE,点G,H在线段DE上,且DG=GH=HE.

  (1)求证:四边形OGCH是平行四边形;

  (2)当点C在弧(AB上运动时,在CD,CG,DG中,是否存在长度不变的线段?若存在,请求出该线段的长度;

  (3)求证:CD平方+3CH平方是定值。

  解题思路:延长OG交CD于N,利用题中的三等分点、平行四边形和三角形中位线的性质,实现把线段ON转化成线段CH的倍分关系,再以Rt△OND为基础,通过勾股定理,使问题得以解决。

  例2:在平面直角坐标系中,边长为2的正方形OABC的两顶点A,C分别在y轴,x轴的正半轴上,点O在原点,现将正方形OABC绕O点顺时针旋转,当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转.旋转过程中,AB边交直线y=x于点M,BC边交x轴于点N.

  (1)求OA在旋转过程中所扫过的面积;

  (2)旋转过程中,当MN与AC平行时,求正方形OABC旋转度数;

  (3)设△MBN的周长为P,在正方形OABC旋转的过程中,P值是否有变化?请证明你的结论.

  解:⑴ ⑵22.5° ⑶P值无变化.

  理由如下:如图,延长BA交y轴于E点,可证明△OAE≌△OCN,得OE=ON,AE=CN,又∠MOE=∠MON=45°,OM=ON,∴△OME≌△OMN,得MN=ME=AM+AE=AM+CN.∴P=MN+BN+BM=AM+CM+CN+BN+BM=AB+AC=4.

  例3:如图,已知△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC,点A,C在x轴上,点B坐标为(3,m)(m>0),线段AB与y轴相交于点D,以P(1,0)为顶点的抛物线过点B,D.

  (1)求点A的坐标(用m表示)

  (2)求抛物线的解析式;

  (3)设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点,连接PQ并延长交BC于点E,连接BQ并延长交AC于点F.试证明:FC(AC+EC)为定值.

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